Orthodrome

START

Softwarelösungen zur Entfernungsberechnung

Informationen

Sie sind hier: Startseite > Endverbraucher > Lexikon Fachbegriffe

Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Die Orthodrome (orthos <griech.> "gerade", dromos <griech.> "Lauf") ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu müssen. Damit ist die Orthodrome mit der so genannten Luftlinie identisch.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie immer mit dem gleichen Winkel die Meridiane kreuzt. Dafür ist die Strecke der Loxodrome allerdings auch etwas länger als die der Orthodrome.

Gegenüberstellung von Loxodrome und Orthodrome

Inhaltsverzeichnis

1 Rechenformeln

1.1 Nördlichster Punkt

1.2 Strecke

1.3 Kurswinkel und rechtweisende Kurse

2 Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio

2.1 Winkelberechnung

2.2 Streckenberechnung

3 Weblinks

Rechenformeln

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der Sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen Bedeutung

$\, \phi$ Geographische Breite

$\, \lambda$ Geographische Länge

$\, A (\phi_A, \lambda_A)$ Anfangspunkt

$\, B (\phi_B, \lambda_B)$ Endpunkt

$\, P_N(\phi_N, \lambda_N)$ Nördlichster Punkt der Orthodrome

$\, \alpha$ Kurswinkel bei A

$\, \beta$ Kurswinkel bei B

$\, \zeta$ Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist $\, \lambda$ in Richtung Westen positiv, Richtung Osten negativ; $\, \phi$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Nördlichster Punkt

In einer Gnomonische Projektion werden Orthodrome immer als gerade Strecke abgebildet

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel :

$\, \phi_N = \arccos \Big( \sin(|\alpha_A|) \cdot \cos(\phi_A) \Big)$

$\lambda_N = \operatorname{sgn}(\alpha_A) \cdot \left| \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_N )}\right) \right|$

Strecke

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben: $\, \zeta =\arccos\Big(\sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \cos(|\lambda_B - \lambda_A|) \Big)$

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für im Bogenmaß; falls in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit $2 / 360$ multipliziert werden).

Kurswinkel und rechtweisende Kurse

Kurswinkel

$\alpha = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_B) - \sin(\phi_A) \cdot \cos(\zeta)} {\sin(\phi_A) \cdot \sin(\zeta)}\right)$

$\beta = \arccos \left( \frac{\sin(\phi_A) - \sin(\phi_B) \cdot \cos(\zeta)} {\cos(\phi_B) \cdot \sin(\zeta)}\right)$

rechtweisende Kurse A => B

$\, rwK_A = \alpha$

$\, rwK_B = 180^\circ - \beta$

rechtweisende Kurse B => A

$\, rwK_B = 360^\circ - \beta$

$\, rwK_A = 180^\circ + \alpha$

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

Berlin

52° 31' 0" N = 52,52°

013° 24' 0" E = 013,40°

Tokio

35° 42' 0" N = 35,70°

139° 46' 0" E = 139,77°

Winkelberechnung

$\, \phi_A = 52{,}52^\circ$ $\, \lambda_A = -13{,}40^\circ$

$\, \phi_B = 35{,}70^\circ$ $\, \lambda_B = -139{,}77^\circ$

$\, \zeta =\arccos \Big( \sin(\phi_A) \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\cos(|\lambda_B - \lambda_A|) \Big)$

$\, \zeta =\arccos \Big( \sin(52{,}517^\circ) \sin(35{,}70^\circ) + \cos(52{,}52^\circ)\cos(35{,}70^\circ)\cos(|-139{,}767^\circ + 13,40^\circ|) \Big)$

$\, \zeta =\arccos(0{,}79353 \cdot 0{,}58354 + 0{,}60853 \cdot 0{,}81208 \cdot (-0{,}59296) )$

$\, \zeta =\arccos( 0{,}1700)$

$\, \zeta = 80{,}212^\circ$ bzw. $\, \zeta = 1{,}400$ (Bogenmaß)

Streckenberechnung

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit U = 40.000 km bzw. 6.370 km Radius ausgegangen.

$\, L = \frac{\zeta}{360^\circ} \cdot 40\,000\ km$

$\, L = \frac{80{,}212^\circ}{360^\circ} \cdot 40\,000\ km$

$\, L = 8912\ km$

Oder für $\, \zeta$ im Bogenmaß:

$\, L = \zeta \cdot 6370\ km$

$\, L = 8918\ km$

Das ist aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur eine Näherung. Die tatsächliche Entfernung zwischen Berlin und Tokyo kann bei Verwendung des WGS84 Referenzellipsoids zu 8941,2 km berechnet werden.

siehe auch: Geodätische Linie, Abweitung

Kategorien: Kartografie | Navigation | Mathematische Geographie

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Orthodrome aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.